다음을 풀어보세요: {l}{4x+y=20}{x+3y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 20 } \\ { x + 3 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=-8$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+y=20$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x=-y+20$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+20\right)$$

\frac{1}{4}에 -y+20을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

다른 수식 x+3y=-17에서 -\frac{y}{4}+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{4}y+5+3y=-17$$

-\frac{y}{4}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{11}{4}y+5=-17$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$\frac{11}{4}y=-22$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-8$$

x=-\frac{1}{4}y+5에서 y을(를) -8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-8\right)+5$$

-\frac{1}{4}에 -8을(를) 곱합니다.

$$x=2+5$$

5을(를) 2에 추가합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=-8$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-1}&-\frac{1}{4\times 3-1}\\-\frac{1}{4\times 3-1}&\frac{4}{4\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-17\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 20-\frac{1}{11}\left(-17\right)\\-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{11}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-8\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=-8$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+y=20,x+3y=-17$$

4x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$4x+y=20,4x+4\times 3y=4\left(-17\right)$$

단순화합니다.

$$4x+y=20,4x+12y=-68$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+y=20에서 4x+12y=-68을(를) 뺍니다.

$$4x-4x+y-12y=20+68$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-12y=20+68$$

y을(를) -12y에 추가합니다.

$$-11y=20+68$$

20을(를) 68에 추가합니다.

$$-11y=88$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=-8$$

x+3y=-17에서 y을(를) -8(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+3\left(-8\right)=-17$$

3에 -8을(를) 곱합니다.

$$x-24=-17$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=-8$$