다음을 풀어보세요: {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=45$$

$$y=-165$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+y=15$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x=-y+15$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

\frac{1}{4}에 -y+15을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

다른 수식 19x+5y=30에서 \frac{-y+15}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

19에 \frac{-y+15}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

-\frac{19y}{4}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

수식의 양쪽에서 \frac{285}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

양쪽에 4을(를) 곱합니다.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}에서 y을(를) -165(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-\frac{1}{4}에 -165을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{4}을(를) \frac{165}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=45$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=45,y=-165$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=45,y=-165$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x 및 19x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 19을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

단순화합니다.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 76x+19y=285에서 76x+20y=120을(를) 뺍니다.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

76x을(를) -76x에 추가합니다. 76x 및 -76x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$19y-20y=285-120$$

19y을(를) -20y에 추가합니다.

$$-y=285-120$$

285을(를) -120에 추가합니다.

$$-y=165$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-165$$

19x+5y=30에서 y을(를) -165(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

5에 -165을(를) 곱합니다.

$$19x-825=30$$

수식의 양쪽에 825을(를) 더합니다.

$$19x=855$$

양쪽을 19(으)로 나눕니다.

$$x=45$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=45,y=-165$$