다음을 풀어보세요: {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=24$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+y=100$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x=-y+100$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

\frac{1}{4}에 -y+100을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

다른 수식 2x+2y=56에서 -\frac{y}{4}+25을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

2에 -\frac{y}{4}+25을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

-\frac{y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

수식의 양쪽에서 50을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{2}y=6$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{4}y+25에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

-\frac{1}{4}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=-1+25$$

25을(를) -1에 추가합니다.

$$x=24$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=24,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=24,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

4x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

단순화합니다.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+2y=200에서 8x+8y=224을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y-8y=200-224$$

2y을(를) -8y에 추가합니다.

$$-6y=200-224$$

200을(를) -224에 추가합니다.

$$-6y=-24$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

2x+2y=56에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+2\times 4=56$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$2x+8=56$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$2x=48$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=24$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=24,y=4$$