다음을 풀어보세요: {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+y=-7$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$4x=-y-7$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

\frac{1}{4}에 -y-7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

다른 수식 2x+6y=-11에서 \frac{-y-7}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

2에 \frac{-y-7}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

-\frac{y}{2}을(를) 6y에 추가합니다.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{15}{11}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}에서 y을(를) -\frac{15}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{4}에 -\frac{15}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{4}을(를) \frac{15}{44}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{31}{22}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

4x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

단순화합니다.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+2y=-14에서 8x+24y=-44을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y-24y=-14+44$$

2y을(를) -24y에 추가합니다.

$$-22y=-14+44$$

-14을(를) 44에 추가합니다.

$$-22y=30$$

양쪽을 -22(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{11}$$

2x+6y=-11에서 y을(를) -\frac{15}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

6에 -\frac{15}{11}을(를) 곱합니다.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

수식의 양쪽에 \frac{90}{11}을(를) 더합니다.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{31}{22}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$