다음을 풀어보세요: {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+5y=7$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x=-5y+7$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{4}에 -5y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

다른 수식 3x-2y=9에서 \frac{-5y+7}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

3에 \frac{-5y+7}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

-\frac{15y}{4}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{21}{4}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{23}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{15}{23}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}에서 y을(를) -\frac{15}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{4}에 -\frac{15}{23}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{4}을(를) \frac{75}{92}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{59}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

4x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

단순화합니다.

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+15y=21에서 12x-8y=36을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y+8y=21-36$$

15y을(를) 8y에 추가합니다.

$$23y=21-36$$

21을(를) -36에 추가합니다.

$$23y=-15$$

양쪽을 23(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{15}{23}$$

3x-2y=9에서 y을(를) -\frac{15}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

-2에 -\frac{15}{23}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{30}{23}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{177}{23}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{59}{23}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$