다음을 풀어보세요: {l}{4x+5y=6}{6x-7y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+5y=6$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x=-5y+6$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

\frac{1}{4}에 -5y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

다른 수식 6x-7y=-20에서 -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)-7y=-20$$

6에 -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{15}{2}y+9-7y=-20$$

-\frac{15y}{2}을(를) -7y에 추가합니다.

$$-\frac{29}{2}y+9=-20$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$-\frac{29}{2}y=-29$$

수식의 양쪽을 -\frac{29}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{4}\times 2+\frac{3}{2}$$

-\frac{5}{4}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{2}을(를) -\frac{5}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}&\frac{5}{58}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}\times 6+\frac{5}{58}\left(-20\right)\\\frac{3}{29}\times 6-\frac{2}{29}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

4x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$6\times 4x+6\times 5y=6\times 6,4\times 6x+4\left(-7\right)y=4\left(-20\right)$$

단순화합니다.

$$24x+30y=36,24x-28y=-80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24x+30y=36에서 24x-28y=-80을(를) 뺍니다.

$$24x-24x+30y+28y=36+80$$

24x을(를) -24x에 추가합니다. 24x 및 -24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$30y+28y=36+80$$

30y을(를) 28y에 추가합니다.

$$58y=36+80$$

36을(를) 80에 추가합니다.

$$58y=116$$

양쪽을 58(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

6x-7y=-20에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-7\times 2=-20$$

-7에 2을(를) 곱합니다.

$$6x-14=-20$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$6x=-6$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=2$$