다음을 풀어보세요: {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+5y=1$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x=-5y+1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{4}에 -5y+1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

다른 수식 5x-7y=1에서 \frac{-5y+1}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

5에 \frac{-5y+1}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

-\frac{25y}{4}을(를) -7y에 추가합니다.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{4}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

수식의 양쪽을 -\frac{53}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{1}{53}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}에서 y을(를) \frac{1}{53}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{4}에 \frac{1}{53}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) -\frac{5}{212}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{12}{53}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

단순화합니다.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 20x+25y=5에서 20x-28y=4을(를) 뺍니다.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

20x을(를) -20x에 추가합니다. 20x 및 -20x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$25y+28y=5-4$$

25y을(를) 28y에 추가합니다.

$$53y=5-4$$

5을(를) -4에 추가합니다.

$$53y=1$$

양쪽을 53(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{53}$$

5x-7y=1에서 y을(를) \frac{1}{53}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

-7에 \frac{1}{53}을(를) 곱합니다.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{53}을(를) 더합니다.

$$5x=\frac{60}{53}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{12}{53}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$