다음을 풀어보세요: {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+5y=0$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$4x=-5y$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

\frac{1}{4}에 -5y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

다른 수식 8x-15y=-5에서 -\frac{5y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

8에 -\frac{5y}{4}을(를) 곱합니다.

$$-10y-15y=-5$$

-10y을(를) -15y에 추가합니다.

$$-25y=-5$$

양쪽을 -25(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}$$

x=-\frac{5}{4}y에서 y을(를) \frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{4}에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

4x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

단순화합니다.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 32x+40y=0에서 32x-60y=-20을(를) 뺍니다.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

32x을(를) -32x에 추가합니다. 32x 및 -32x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$40y+60y=20$$

40y을(를) 60y에 추가합니다.

$$100y=20$$

양쪽을 100(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{5}$$

8x-15y=-5에서 y을(를) \frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

-15에 \frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$8x-3=-5$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$8x=-2$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{4}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$