다음을 풀어보세요: {l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2x-3y=-28$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+3y=25$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$4x=-3y+25$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

\frac{1}{4}에 -3y+25을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

다른 수식 2x-3y=-28에서 \frac{-3y+25}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

2에 \frac{-3y+25}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

-\frac{3y}{2}을(를) -3y에 추가합니다.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=9$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

-\frac{3}{4}에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{25}{4}을(를) -\frac{27}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2x-3y=-28$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽 모두에 2을(를) 곱합니다.

$$2x-3y=-28$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

4x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

단순화합니다.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+6y=50에서 8x-12y=-112을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6y+12y=50+112$$

6y을(를) 12y에 추가합니다.

$$18y=50+112$$

50을(를) 112에 추가합니다.

$$18y=162$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

2x-3y=-28에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-3\times 9=-28$$

-3에 9을(를) 곱합니다.

$$2x-27=-28$$

수식의 양쪽에 27을(를) 더합니다.

$$2x=-1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$