다음을 풀어보세요: {l}{4x+3y=0}{3y+3x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 0 } \\ { 3 y + 3 x = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+3y=0$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$4x=-3y$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

\frac{1}{4}에 -3y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

다른 수식 3x+3y=1에서 -\frac{3y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{3}{4}\right)y+3y=1$$

3에 -\frac{3y}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{4}y+3y=1$$

-\frac{9y}{4}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{3}{4}y=1$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=-\frac{3}{4}y에서 y을(를) \frac{4}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{4}에 \frac{4}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+3y=0에서 3x+3y=1을(를) 뺍니다.

$$4x-3x+3y-3y=-1$$

3y을(를) -3y에 추가합니다. 3y 및 -3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4x-3x=-1$$

4x을(를) -3x에 추가합니다.

$$x=-1$$

3x+3y=1에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3\left(-1\right)+3y=1$$

3에 -1을(를) 곱합니다.

$$-3+3y=1$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$3y=4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{4}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$