다음을 풀어보세요: {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=9$$

$$y=-9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+2y=18$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$4x=-2y+18$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

\frac{1}{4}에 -2y+18을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

다른 수식 -3x-6y=27에서 \frac{-y+9}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

-3에 \frac{-y+9}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

\frac{3y}{2}을(를) -6y에 추가합니다.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

수식의 양쪽에 \frac{27}{2}을(를) 더합니다.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-9$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{1}{2}에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{2}을(를) \frac{9}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=-9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=9,y=-9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

4x 및 -3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

단순화합니다.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x-6y=-54에서 -12x-24y=108을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-6y+24y=-54-108$$

-6y을(를) 24y에 추가합니다.

$$18y=-54-108$$

-54을(를) -108에 추가합니다.

$$18y=-162$$

양쪽을 18(으)로 나눕니다.

$$y=-9$$

-3x-6y=27에서 y을(를) -9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

-6에 -9을(를) 곱합니다.

$$-3x+54=27$$

수식의 양쪽에서 54을(를) 뺍니다.

$$-3x=-27$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$x=9$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=9,y=-9$$