다음을 풀어보세요: {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+2y=12$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$4x=-2y+12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

\frac{1}{4}에 -2y+12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

다른 수식 7x+18y=19에서 -\frac{y}{2}+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

7에 -\frac{y}{2}+3을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

-\frac{7y}{2}을(를) 18y에 추가합니다.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

수식의 양쪽을 \frac{29}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{4}{29}$$

x=-\frac{1}{2}y+3에서 y을(를) -\frac{4}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 -\frac{4}{29}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

3을(를) \frac{2}{29}에 추가합니다.

$$x=\frac{89}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

4x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

단순화합니다.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 28x+14y=84에서 28x+72y=76을(를) 뺍니다.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

28x을(를) -28x에 추가합니다. 28x 및 -28x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$14y-72y=84-76$$

14y을(를) -72y에 추가합니다.

$$-58y=84-76$$

84을(를) -76에 추가합니다.

$$-58y=8$$

양쪽을 -58(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{4}{29}$$

7x+18y=19에서 y을(를) -\frac{4}{29}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

18에 -\frac{4}{29}을(를) 곱합니다.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

수식의 양쪽에 \frac{72}{29}을(를) 더합니다.

$$7x=\frac{623}{29}$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{89}{29}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$