다음을 풀어보세요: {l}{4x+12y=-24}{-8x-20y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 12 y = - 24 } \\ { - 8 x - 20 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$4x+12y=-24$$

수식의 양쪽에서 12y을(를) 뺍니다.

$$4x=-12y-24$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-12y-24\right)$$

\frac{1}{4}에 -12y-24을(를) 곱합니다.

$$x=-3y-6$$

다른 수식 -8x-20y=36에서 -3y-6을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-8\left(-3y-6\right)-20y=36$$

-8에 -3y-6을(를) 곱합니다.

$$24y+48-20y=36$$

24y을(를) -20y에 추가합니다.

$$4y+48=36$$

수식의 양쪽에서 48을(를) 뺍니다.

$$4y=-12$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

x=-3y-6에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3\left(-3\right)-6$$

-3에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=9-6$$

-6을(를) 9에 추가합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&-\frac{12}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&\frac{4}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\left(-24\right)-\frac{3}{4}\times 36\\\frac{1}{2}\left(-24\right)+\frac{1}{4}\times 36\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

4x 및 -8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$-8\times 4x-8\times 12y=-8\left(-24\right),4\left(-8\right)x+4\left(-20\right)y=4\times 36$$

단순화합니다.

$$-32x-96y=192,-32x-80y=144$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -32x-96y=192에서 -32x-80y=144을(를) 뺍니다.

$$-32x+32x-96y+80y=192-144$$

-32x을(를) 32x에 추가합니다. -32x 및 32x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-96y+80y=192-144$$

-96y을(를) 80y에 추가합니다.

$$-16y=192-144$$

192을(를) -144에 추가합니다.

$$-16y=48$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

-8x-20y=36에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-8x-20\left(-3\right)=36$$

-20에 -3을(를) 곱합니다.

$$-8x+60=36$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$-8x=-24$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=-3$$