다음을 풀어보세요: {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d에 대한 해

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a_{1}을(를) 고립시켜 a_{1}에 대한 해를 찾습니다.

$$4a_{1}+6d=3$$

수식의 양쪽에서 6d을(를) 뺍니다.

$$4a_{1}=-6d+3$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

\frac{1}{4}에 -6d+3을(를) 곱합니다.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

다른 수식 3a_{1}+21d=4에서 -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}을(를) a_{1}(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

3에 -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

-\frac{9d}{2}을(를) 21d에 추가합니다.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{4}을(를) 뺍니다.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

수식의 양쪽을 \frac{33}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}에서 d을(를) \frac{7}{66}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a_{1}에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 \frac{7}{66}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{4}을(를) -\frac{7}{44}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a_{1} 및 d을(를) 추출합니다.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} 및 3a_{1}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

단순화합니다.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12a_{1}+18d=9에서 12a_{1}+84d=16을(를) 뺍니다.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

12a_{1}을(를) -12a_{1}에 추가합니다. 12a_{1} 및 -12a_{1}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$18d-84d=9-16$$

18d을(를) -84d에 추가합니다.

$$-66d=9-16$$

9을(를) -16에 추가합니다.

$$-66d=-7$$

양쪽을 -66(으)로 나눕니다.

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4에서 d을(를) \frac{7}{66}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a_{1}에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

21에 \frac{7}{66}을(를) 곱합니다.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{49}{22}을(를) 뺍니다.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$