다음을 풀어보세요: {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$4a+5b=9$$

수식의 양쪽에서 5b을(를) 뺍니다.

$$4a=-5b+9$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

\frac{1}{4}에 -5b+9을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

다른 수식 2a-b=7에서 \frac{-5b+9}{4}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

2에 \frac{-5b+9}{4}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

-\frac{5b}{2}을(를) -b에 추가합니다.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=-\frac{5}{7}$$

a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}에서 b을(를) -\frac{5}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{4}에 -\frac{5}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{4}을(를) \frac{25}{28}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=\frac{22}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

4a 및 2a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

단순화합니다.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8a+10b=18에서 8a-4b=28을(를) 뺍니다.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

8a을(를) -8a에 추가합니다. 8a 및 -8a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10b+4b=18-28$$

10b을(를) 4b에 추가합니다.

$$14b=18-28$$

18을(를) -28에 추가합니다.

$$14b=-10$$

양쪽을 14(으)로 나눕니다.

$$b=-\frac{5}{7}$$

2a-b=7에서 b을(를) -\frac{5}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{7}을(를) 뺍니다.

$$2a=\frac{44}{7}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{22}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$