다음을 풀어보세요: {l}{36x-5y=7}{6x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$36x-5y=7$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$36x=5y+7$$

양쪽을 36(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{36}에 5y+7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

다른 수식 6x+3y=8에서 \frac{5y+7}{36}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

6에 \frac{5y+7}{36}을(를) 곱합니다.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

\frac{5y}{6}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{6}을(를) 뺍니다.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

수식의 양쪽을 \frac{23}{6}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{41}{23}$$

x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}에서 y을(를) \frac{41}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{5}{36}에 \frac{41}{23}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{36}을(를) \frac{205}{828}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{61}{138}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 36을(를) 곱합니다.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

단순화합니다.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 216x-30y=42에서 216x+108y=288을(를) 뺍니다.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

216x을(를) -216x에 추가합니다. 216x 및 -216x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-30y-108y=42-288$$

-30y을(를) -108y에 추가합니다.

$$-138y=42-288$$

42을(를) -288에 추가합니다.

$$-138y=-246$$

양쪽을 -138(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{41}{23}$$

6x+3y=8에서 y을(를) \frac{41}{23}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

3에 \frac{41}{23}을(를) 곱합니다.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{123}{23}을(를) 뺍니다.

$$6x=\frac{61}{23}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{61}{138}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$