다음을 풀어보세요: {l}{342=23m+b}{147=10m+b}

$$\left. \begin{array} { l } { 342 = 23 m + b } \\ { 147 = 10 m + b } \end{array} \right.$$

m, b에 대한 해

$$m=15$$

$$b=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$23m+b=342$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$10m+b=147$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$23m+b=342$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$23m=-b+342$$

양쪽을 23(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{23}\left(-b+342\right)$$

\frac{1}{23}에 -b+342을(를) 곱합니다.

$$m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}$$

다른 수식 10m+b=147에서 \frac{-b+342}{23}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$10\left(-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}\right)+b=147$$

10에 \frac{-b+342}{23}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{10}{23}b+\frac{3420}{23}+b=147$$

-\frac{10b}{23}을(를) b에 추가합니다.

$$\frac{13}{23}b+\frac{3420}{23}=147$$

수식의 양쪽에서 \frac{3420}{23}을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{23}b=-\frac{39}{23}$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{23}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=-3$$

m=-\frac{1}{23}b+\frac{342}{23}에서 b을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-\frac{1}{23}\left(-3\right)+\frac{342}{23}$$

-\frac{1}{23}에 -3을(를) 곱합니다.

$$m=\frac{3+342}{23}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{342}{23}을(를) \frac{3}{23}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=15,b=-3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$23m+b=342$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$10m+b=147$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}23&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23-10}&-\frac{1}{23-10}\\-\frac{10}{23-10}&\frac{23}{23-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{10}{13}&\frac{23}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}342\\147\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 342-\frac{1}{13}\times 147\\-\frac{10}{13}\times 342+\frac{23}{13}\times 147\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 b을(를) 추출합니다.

$$m=15,b=-3$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$23m+b=342$$

두 번째 수식을 검토합니다. 모든 변수 항이 왼쪽에 오도록 위치를 바꿉니다.

$$10m+b=147$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$23m+b=342,10m+b=147$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 23m+b=342에서 10m+b=147을(를) 뺍니다.

$$23m-10m+b-b=342-147$$

b을(를) -b에 추가합니다. b 및 -b이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$23m-10m=342-147$$

23m을(를) -10m에 추가합니다.

$$13m=342-147$$

342을(를) -147에 추가합니다.

$$13m=195$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$m=15$$

10m+b=147에서 m을(를) 15(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 b에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$10\times 15+b=147$$

10에 15을(를) 곱합니다.

$$150+b=147$$

수식의 양쪽에서 150을(를) 뺍니다.

$$b=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=15,b=-3$$