다음을 풀어보세요: {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=39$$

$$y=15$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y-6-x=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3y-x=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x-9-2y=0$$

양쪽에 9을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-2y=9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$3y-x=6$$

수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$3y=x+6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

\frac{1}{3}에 x+6을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

다른 수식 -2y+x=9에서 \frac{x}{3}+2을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

-2에 \frac{x}{3}+2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

-\frac{2x}{3}을(를) x에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{3}x=13$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$x=39$$

y=\frac{1}{3}x+2에서 x을(를) 39(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

\frac{1}{3}에 39을(를) 곱합니다.

$$y=13+2$$

2을(를) 13에 추가합니다.

$$y=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=15,x=39$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y-6-x=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3y-x=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x-9-2y=0$$

양쪽에 9을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-2y=9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=15,x=39$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y-6-x=0$$

양쪽에 6을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3y-x=6$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 2y을(를) 뺍니다.

$$x-9-2y=0$$

양쪽에 9을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$x-2y=9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

3y 및 -2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

단순화합니다.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6y+2x=-12에서 -6y+3x=27을(를) 뺍니다.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

-6y을(를) 6y에 추가합니다. -6y 및 6y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x-3x=-12-27$$

2x을(를) -3x에 추가합니다.

$$-x=-12-27$$

-12을(를) -27에 추가합니다.

$$-x=-39$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=39$$

-2y+x=9에서 x을(를) 39(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2y+39=9$$

수식의 양쪽에서 39을(를) 뺍니다.

$$-2y=-30$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=15,x=39$$