다음을 풀어보세요: {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=10$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$3y+x=31$$

수식의 양쪽에서 x을(를) 뺍니다.

$$3y=-x+31$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

\frac{1}{3}에 -x+31을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

다른 수식 2y+3x=44에서 \frac{-x+31}{3}을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

2에 \frac{-x+31}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

-\frac{2x}{3}을(를) 3x에 추가합니다.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

수식의 양쪽에서 \frac{62}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=10$$

y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}에서 x을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

-\frac{1}{3}에 10을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{31}{3}을(를) -\frac{10}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=7,x=10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=7,x=10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

단순화합니다.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6y+2x=62에서 6y+9x=132을(를) 뺍니다.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

6y을(를) -6y에 추가합니다. 6y 및 -6y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x-9x=62-132$$

2x을(를) -9x에 추가합니다.

$$-7x=62-132$$

62을(를) -132에 추가합니다.

$$-7x=-70$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

2y+3x=44에서 x을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y+3\times 10=44$$

3에 10을(를) 곱합니다.

$$2y+30=44$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$2y=14$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=7,x=10$$