다음을 풀어보세요: {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-y-2=0$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$3x-y=2$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x=y+2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

\frac{1}{3}에 y+2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 2x+y-8=0에서 \frac{2+y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

2에 \frac{2+y}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

\frac{2y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

\frac{4}{3}을(를) -8에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{20}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) \frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

단순화합니다.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x-2y-4=0에서 6x+3y-24=0을(를) 뺍니다.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-3y-4+24=0$$

-2y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-5y-4+24=0$$

-4을(를) 24에 추가합니다.

$$-5y+20=0$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-5y=-20$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

2x+y-8=0에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+4-8=0$$

4을(를) -8에 추가합니다.

$$2x-4=0$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$2x=4$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=4$$