다음을 풀어보세요: {l}{3x-9=y}{9y+3=x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 9 = y } \\ { 9 y + 3 = x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x-9-y=0$$

양쪽에 9을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x-y=9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$9y+3-x=0$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$9y-x=-3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-y=9$$

수식의 양쪽에 y을(를) 더합니다.

$$3x=y+9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+9\right)$$

\frac{1}{3}에 y+9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{3}y+3$$

다른 수식 -x+9y=-3에서 \frac{y}{3}+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{1}{3}y+3\right)+9y=-3$$

-1에 \frac{y}{3}+3을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{3}y-3+9y=-3$$

-\frac{y}{3}을(를) 9y에 추가합니다.

$$\frac{26}{3}y-3=-3$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$\frac{26}{3}y=0$$

수식의 양쪽을 \frac{26}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=0$$

x=\frac{1}{3}y+3에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=0$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x-9-y=0$$

양쪽에 9을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x-y=9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$9y+3-x=0$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$9y-x=-3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{1}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{26}\times 9+\frac{1}{26}\left(-3\right)\\\frac{1}{26}\times 9+\frac{3}{26}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=0$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x-9-y=0$$

양쪽에 9을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$3x-y=9$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$9y+3-x=0$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$9y-x=-3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-y=9,-x+9y=-3$$

3x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3x-\left(-y\right)=-9,3\left(-1\right)x+3\times 9y=3\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$-3x+y=-9,-3x+27y=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x+y=-9에서 -3x+27y=-9을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x+y-27y=-9+9$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-27y=-9+9$$

y을(를) -27y에 추가합니다.

$$-26y=-9+9$$

-9을(를) 9에 추가합니다.

$$-26y=0$$

양쪽을 -26(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

-x+9y=-3에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x=-3$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=0$$