다음을 풀어보세요: {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-7$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-5y=-6$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$3x=5y-6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

\frac{1}{3}에 5y-6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

다른 수식 2x-3y=-5에서 \frac{5y}{3}-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

2에 \frac{5y}{3}-2을(를) 곱합니다.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

\frac{10y}{3}을(를) -3y에 추가합니다.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$y=-3$$

x=\frac{5}{3}y-2에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

\frac{5}{3}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=-5-2$$

-2을(를) -5에 추가합니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-7,y=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

단순화합니다.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x-10y=-12에서 6x-9y=-15을(를) 뺍니다.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10y+9y=-12+15$$

-10y을(를) 9y에 추가합니다.

$$-y=-12+15$$

-12을(를) 15에 추가합니다.

$$-y=3$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

2x-3y=-5에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

-3에 -3을(를) 곱합니다.

$$2x+9=-5$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$2x=-14$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-7,y=-3$$