다음을 풀어보세요: {l}{3x-4y=12}{y=-3x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$y+3x=-3$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-4y=12$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$3x=4y+12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

\frac{1}{3}에 12+4y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

다른 수식 3x+y=-3에서 4+\frac{4y}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

3에 4+\frac{4y}{3}을(를) 곱합니다.

$$4y+12+y=-3$$

4y을(를) y에 추가합니다.

$$5y+12=-3$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$5y=-15$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

x=\frac{4}{3}y+4에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

\frac{4}{3}에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=-4+4$$

4을(를) -4에 추가합니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-3$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$y+3x=-3$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=0,y=-3$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 3x을(를) 더합니다.

$$y+3x=-3$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x-4y=12에서 3x+y=-3을(를) 뺍니다.

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-y=12+3$$

-4y을(를) -y에 추가합니다.

$$-5y=12+3$$

12을(를) 3에 추가합니다.

$$-5y=15$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=-3$$

3x+y=-3에서 y을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-3=-3$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$3x=0$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=0,y=-3$$