다음을 풀어보세요: {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-3y=2$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$3x=3y+2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

\frac{1}{3}에 3y+2을(를) 곱합니다.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

다른 수식 4x+7y=-3에서 y+\frac{2}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

4에 y+\frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

4y을(를) 7y에 추가합니다.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{3}을(를) 뺍니다.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{17}{33}$$

x=y+\frac{2}{3}에서 y을(를) -\frac{17}{33}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) -\frac{17}{33}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{33}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

3x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x-12y=8에서 12x+21y=-9을(를) 뺍니다.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12y-21y=8+9$$

-12y을(를) -21y에 추가합니다.

$$-33y=8+9$$

8을(를) 9에 추가합니다.

$$-33y=17$$

양쪽을 -33(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{17}{33}$$

4x+7y=-3에서 y을(를) -\frac{17}{33}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

7에 -\frac{17}{33}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

수식의 양쪽에 \frac{119}{33}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{20}{33}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{5}{33}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$