다음을 풀어보세요: {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-2y=5$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$3x=2y+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3}에 2y+5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

다른 수식 -x+2y-5=9에서 \frac{2y+5}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

-1에 \frac{2y+5}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

-\frac{2y}{3}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

-\frac{5}{3}을(를) -5에 추가합니다.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

수식의 양쪽에 \frac{20}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{4}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{47}{4}$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}에서 y을(를) \frac{47}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{2}{3}에 \frac{47}{4}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{47}{6}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{19}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

3x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

단순화합니다.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x+2y=-5에서 -3x+6y-15=27을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y-6y+15=-5-27$$

2y을(를) -6y에 추가합니다.

$$-4y+15=-5-27$$

-5을(를) -27에 추가합니다.

$$-4y+15=-32$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$-4y=-47$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{47}{4}$$

-x+2y-5=9에서 y을(를) \frac{47}{4}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

2에 \frac{47}{4}을(를) 곱합니다.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

\frac{47}{2}을(를) -5에 추가합니다.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{37}{2}을(를) 뺍니다.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{19}{2}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$