다음을 풀어보세요: {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=5$$

$$y=9$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x-2y+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$3x-2y=-3$$

수식의 양쪽에 2y을(를) 더합니다.

$$3x=2y-3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

\frac{1}{3}에 2y-3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

다른 수식 4x+3y-47=0에서 \frac{2y}{3}-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

4에 \frac{2y}{3}-1을(를) 곱합니다.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

\frac{8y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

-4을(를) -47에 추가합니다.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

수식의 양쪽에 51을(를) 더합니다.

$$\frac{17}{3}y=51$$

수식의 양쪽을 \frac{17}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=9$$

x=\frac{2}{3}y-1에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

\frac{2}{3}에 9을(를) 곱합니다.

$$x=6-1$$

-1을(를) 6에 추가합니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=9$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=5,y=9$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

3x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

단순화합니다.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x-8y+12=0에서 12x+9y-141=0을(를) 뺍니다.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-8y-9y+12+141=0$$

-8y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-17y+12+141=0$$

12을(를) 141에 추가합니다.

$$-17y+153=0$$

수식의 양쪽에서 153을(를) 뺍니다.

$$-17y=-153$$

양쪽을 -17(으)로 나눕니다.

$$y=9$$

4x+3y-47=0에서 y을(를) 9(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+3\times 9-47=0$$

3에 9을(를) 곱합니다.

$$4x+27-47=0$$

27을(를) -47에 추가합니다.

$$4x-20=0$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$4x=20$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=5,y=9$$