다음을 풀어보세요: {l}{3x+y=1}{2x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = -\frac{31}{5} = -6\frac{1}{5} = -6.2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=1$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+1$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

다른 수식 2x-y=11에서 \frac{-y+1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=11$$

2에 \frac{-y+1}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}-y=11$$

-\frac{2y}{3}을(를) -y에 추가합니다.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{2}{3}=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{5}{3}y=\frac{31}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{31}{5}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}에서 y을(를) -\frac{31}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{31}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 -\frac{31}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{31}{15}+\frac{1}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{3}을(를) \frac{31}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{12}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times 11\\\frac{2}{5}-\frac{3}{5}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\-\frac{31}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=1,2x-y=11$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2y=2,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

단순화합니다.

$$6x+2y=2,6x-3y=33$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+2y=2에서 6x-3y=33을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+2y+3y=2-33$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2y+3y=2-33$$

2y을(를) 3y에 추가합니다.

$$5y=2-33$$

2을(를) -33에 추가합니다.

$$5y=-31$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{31}{5}$$

2x-y=11에서 y을(를) -\frac{31}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x-\left(-\frac{31}{5}\right)=11$$

수식의 양쪽에서 \frac{31}{5}을(를) 뺍니다.

$$2x=\frac{24}{5}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{12}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{12}{5},y=-\frac{31}{5}$$