다음을 풀어보세요: {l}{3x+7y=63}{2x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=7$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+7y=63$$

수식의 양쪽에서 7y을(를) 뺍니다.

$$3x=-7y+63$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

\frac{1}{3}에 -7y+63을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

다른 수식 2x+4y=38에서 -\frac{7y}{3}+21을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

2에 -\frac{7y}{3}+21을(를) 곱합니다.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

-\frac{14y}{3}을(를) 4y에 추가합니다.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

수식의 양쪽에서 42을(를) 뺍니다.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

수식의 양쪽을 -\frac{2}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=6$$

x=-\frac{7}{3}y+21에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

-\frac{7}{3}에 6을(를) 곱합니다.

$$x=-14+21$$

21을(를) -14에 추가합니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=7,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

단순화합니다.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+14y=126에서 6x+12y=114을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$14y-12y=126-114$$

14y을(를) -12y에 추가합니다.

$$2y=126-114$$

126을(를) -114에 추가합니다.

$$2y=12$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

2x+4y=38에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+4\times 6=38$$

4에 6을(를) 곱합니다.

$$2x+24=38$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$2x=14$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=7,y=6$$