다음을 풀어보세요: {l}{3x+5y=7}{2x+y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 7 } \\ { 2 x + y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{52}{7} = -7\frac{3}{7} \approx -7.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+5y=7$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$3x=-5y+7$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{3}에 -5y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

다른 수식 2x+y=-9에서 \frac{-5y+7}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=-9$$

2에 \frac{-5y+7}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{14}{3}+y=-9$$

-\frac{10y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{14}{3}=-9$$

수식의 양쪽에서 \frac{14}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{41}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{41}{7}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}에서 y을(를) \frac{41}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{41}{7}+\frac{7}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{3}에 \frac{41}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{205}{21}+\frac{7}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{3}을(를) -\frac{205}{21}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{52}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 7+\frac{5}{7}\left(-9\right)\\\frac{2}{7}\times 7-\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{52}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+5y=7,2x+y=-9$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\left(-9\right)$$

단순화합니다.

$$6x+10y=14,6x+3y=-27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+10y=14에서 6x+3y=-27을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+10y-3y=14+27$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$10y-3y=14+27$$

10y을(를) -3y에 추가합니다.

$$7y=14+27$$

14을(를) 27에 추가합니다.

$$7y=41$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{41}{7}$$

2x+y=-9에서 y을(를) \frac{41}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+\frac{41}{7}=-9$$

수식의 양쪽에서 \frac{41}{7}을(를) 뺍니다.

$$2x=-\frac{104}{7}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{52}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{52}{7},y=\frac{41}{7}$$