다음을 풀어보세요: {l}{3x+5y=21}{5x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 21 } \\ { 5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = -\frac{22}{19} = -1\frac{3}{19} \approx -1.157894737$$

$$y = \frac{93}{19} = 4\frac{17}{19} \approx 4.894736842$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+5y=21$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$3x=-5y+21$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+21\right)$$

\frac{1}{3}에 -5y+21을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{3}y+7$$

다른 수식 5x+2y=4에서 -\frac{5y}{3}+7을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{5}{3}y+7\right)+2y=4$$

5에 -\frac{5y}{3}+7을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{3}y+35+2y=4$$

-\frac{25y}{3}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{19}{3}y+35=4$$

수식의 양쪽에서 35을(를) 뺍니다.

$$-\frac{19}{3}y=-31$$

수식의 양쪽을 -\frac{19}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{93}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+7에서 y을(를) \frac{93}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{93}{19}+7$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{3}에 \frac{93}{19}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{155}{19}+7$$

7을(를) -\frac{155}{19}에 추가합니다.

$$x=-\frac{22}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 2-5\times 5}&\frac{3}{3\times 2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{5}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 21+\frac{5}{19}\times 4\\\frac{5}{19}\times 21-\frac{3}{19}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{19}\\\frac{93}{19}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+5y=21,5x+2y=4$$

3x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$5\times 3x+5\times 5y=5\times 21,3\times 5x+3\times 2y=3\times 4$$

단순화합니다.

$$15x+25y=105,15x+6y=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15x+25y=105에서 15x+6y=12을(를) 뺍니다.

$$15x-15x+25y-6y=105-12$$

15x을(를) -15x에 추가합니다. 15x 및 -15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$25y-6y=105-12$$

25y을(를) -6y에 추가합니다.

$$19y=105-12$$

105을(를) -12에 추가합니다.

$$19y=93$$

양쪽을 19(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{93}{19}$$

5x+2y=4에서 y을(를) \frac{93}{19}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+2\times \frac{93}{19}=4$$

2에 \frac{93}{19}을(를) 곱합니다.

$$5x+\frac{186}{19}=4$$

수식의 양쪽에서 \frac{186}{19}을(를) 뺍니다.

$$5x=-\frac{110}{19}$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{22}{19}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{22}{19},y=\frac{93}{19}$$