다음을 풀어보세요: {l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 22x을(를) 더합니다.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x과(와) 22x을(를) 결합하여 17x(을)를 구합니다.

$$17x+2y=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+5y=-24$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$3x=-5y-24$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

\frac{1}{3}에 -5y-24을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

다른 수식 17x+2y=0에서 -\frac{5y}{3}-8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

17에 -\frac{5y}{3}-8을(를) 곱합니다.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

-\frac{85y}{3}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

수식의 양쪽에 136을(를) 더합니다.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

수식의 양쪽을 -\frac{79}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{408}{79}$$

x=-\frac{5}{3}y-8에서 y을(를) -\frac{408}{79}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{3}에 -\frac{408}{79}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

-8을(를) \frac{680}{79}에 추가합니다.

$$x=\frac{48}{79}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 22x을(를) 더합니다.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x과(와) 22x을(를) 결합하여 17x(을)를 구합니다.

$$17x+2y=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 22x을(를) 더합니다.

$$-5x+2y+22x=0$$

-5x과(와) 22x을(를) 결합하여 17x(을)를 구합니다.

$$17x+2y=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x 및 17x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 17을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

단순화합니다.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 51x+85y=-408에서 51x+6y=0을(를) 뺍니다.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

51x을(를) -51x에 추가합니다. 51x 및 -51x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$85y-6y=-408$$

85y을(를) -6y에 추가합니다.

$$79y=-408$$

양쪽을 79(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{408}{79}$$

17x+2y=0에서 y을(를) -\frac{408}{79}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

2에 -\frac{408}{79}을(를) 곱합니다.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{816}{79}을(를) 더합니다.

$$17x=\frac{816}{79}$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{48}{79}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$