다음을 풀어보세요: {l}{3x+4y=85}{x+y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=15$$

$$y=10$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+4y=85$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y+85$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

\frac{1}{3}에 -4y+85을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

다른 수식 x+y=25에서 \frac{-4y+85}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

-\frac{4y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

수식의 양쪽에서 \frac{85}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

양쪽에 -3을(를) 곱합니다.

$$y=10$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

-\frac{4}{3}에 10을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{85}{3}을(를) -\frac{40}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=10$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=15,y=10$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

단순화합니다.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+4y=85에서 3x+3y=75을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-3y=85-75$$

4y을(를) -3y에 추가합니다.

$$y=85-75$$

85을(를) -75에 추가합니다.

$$y=10$$

x+y=25에서 y을(를) 10(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+10=25$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$x=15$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=15,y=10$$