x, y에 대한 해
x = \frac{35}{11} = 3\frac{2}{11} \approx 3.181818182
y = -\frac{18}{11} = -1\frac{7}{11} \approx -1.636363636
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3x+4y=3,8x+7y=14
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
3x+4y=3
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
3x=-4y+3
수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.
x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)
양쪽을 3(으)로 나눕니다.
x=-\frac{4}{3}y+1
\frac{1}{3}에 -4y+3을(를) 곱합니다.
8\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+7y=14
다른 수식 8x+7y=14에서 -\frac{4y}{3}+1을(를) x(으)로 치환합니다.
-\frac{32}{3}y+8+7y=14
8에 -\frac{4y}{3}+1을(를) 곱합니다.
-\frac{11}{3}y+8=14
-\frac{32y}{3}을(를) 7y에 추가합니다.
-\frac{11}{3}y=6
수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.
y=-\frac{18}{11}
수식의 양쪽을 -\frac{11}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{18}{11}\right)+1
x=-\frac{4}{3}y+1에서 y을(를) -\frac{18}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=\frac{24}{11}+1
분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{3}에 -\frac{18}{11}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=\frac{35}{11}
1을(를) \frac{24}{11}에 추가합니다.
x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}
시스템이 이제 해결되었습니다.
3x+4y=3,8x+7y=14
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-4\times 8}&-\frac{4}{3\times 7-4\times 8}\\-\frac{8}{3\times 7-4\times 8}&\frac{3}{3\times 7-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{8}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\14\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11}\times 3+\frac{4}{11}\times 14\\\frac{8}{11}\times 3-\frac{3}{11}\times 14\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{11}\\-\frac{18}{11}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
3x+4y=3,8x+7y=14
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
8\times 3x+8\times 4y=8\times 3,3\times 8x+3\times 7y=3\times 14
3x 및 8x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.
24x+32y=24,24x+21y=42
단순화합니다.
24x-24x+32y-21y=24-42
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 24x+32y=24에서 24x+21y=42을(를) 뺍니다.
32y-21y=24-42
24x을(를) -24x에 추가합니다. 24x 및 -24x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
11y=24-42
32y을(를) -21y에 추가합니다.
11y=-18
24을(를) -42에 추가합니다.
y=-\frac{18}{11}
양쪽을 11(으)로 나눕니다.
8x+7\left(-\frac{18}{11}\right)=14
8x+7y=14에서 y을(를) -\frac{18}{11}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
8x-\frac{126}{11}=14
7에 -\frac{18}{11}을(를) 곱합니다.
8x=\frac{280}{11}
수식의 양쪽에 \frac{126}{11}을(를) 더합니다.
x=\frac{35}{11}
양쪽을 8(으)로 나눕니다.
x=\frac{35}{11},y=-\frac{18}{11}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}