다음을 풀어보세요: {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=11$$

$$y=55$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$y-5x=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+4y=253$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y+253$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

\frac{1}{3}에 -4y+253을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

다른 수식 -5x+y=0에서 \frac{-4y+253}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

-5에 \frac{-4y+253}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

\frac{20y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{1265}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{23}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=55$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}에서 y을(를) 55(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

-\frac{4}{3}에 55을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{253}{3}을(를) -\frac{220}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=11$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=11,y=55$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$y-5x=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=11,y=55$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 5x을(를) 뺍니다.

$$y-5x=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

3x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

단순화합니다.

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -15x-20y=-1265에서 -15x+3y=0을(를) 뺍니다.

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

-15x을(를) 15x에 추가합니다. -15x 및 15x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-20y-3y=-1265$$

-20y을(를) -3y에 추가합니다.

$$-23y=-1265$$

양쪽을 -23(으)로 나눕니다.

$$y=55$$

-5x+y=0에서 y을(를) 55(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+55=0$$

수식의 양쪽에서 55을(를) 뺍니다.

$$-5x=-55$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=11$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=11,y=55$$