다음을 풀어보세요: {l}{3x+4y=-6}{7x+4y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 6 } \\ { 7 x + 4 y = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=-6,7x+4y=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+4y=-6$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y-6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

\frac{1}{3}에 -4y-6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y-2$$

다른 수식 7x+4y=-14에서 -\frac{4y}{3}-2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(-\frac{4}{3}y-2\right)+4y=-14$$

7에 -\frac{4y}{3}-2을(를) 곱합니다.

$$-\frac{28}{3}y-14+4y=-14$$

-\frac{28y}{3}을(를) 4y에 추가합니다.

$$-\frac{16}{3}y-14=-14$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$-\frac{16}{3}y=0$$

수식의 양쪽을 -\frac{16}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=0$$

x=-\frac{4}{3}y-2에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=0$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+4y=-6,7x+4y=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\7&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4\times 7}&-\frac{4}{3\times 4-4\times 7}\\-\frac{7}{3\times 4-4\times 7}&\frac{3}{3\times 4-4\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-14\right)\\\frac{7}{16}\left(-6\right)-\frac{3}{16}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=0$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+4y=-6,7x+4y=-14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+4y=-6에서 7x+4y=-14을(를) 뺍니다.

$$3x-7x+4y-4y=-6+14$$

4y을(를) -4y에 추가합니다. 4y 및 -4y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3x-7x=-6+14$$

3x을(를) -7x에 추가합니다.

$$-4x=-6+14$$

-6을(를) 14에 추가합니다.

$$-4x=8$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

7x+4y=-14에서 x을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7\left(-2\right)+4y=-14$$

7에 -2을(를) 곱합니다.

$$-14+4y=-14$$

수식의 양쪽에 14을(를) 더합니다.

$$4y=0$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=0$$