다음을 풀어보세요: {l}{3x+4y=-4}{4x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{36}{7} = 5\frac{1}{7} \approx 5.142857143$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+4y=-4$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$3x=-4y-4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-4\right)$$

\frac{1}{3}에 -4y-4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}$$

다른 수식 4x+3y=6에서 \frac{-4y-4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}\right)+3y=6$$

4에 \frac{-4y-4}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{16}{3}+3y=6$$

-\frac{16y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$-\frac{7}{3}y-\frac{16}{3}=6$$

수식의 양쪽에 \frac{16}{3}을(를) 더합니다.

$$-\frac{7}{3}y=\frac{34}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{34}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}에서 y을(를) -\frac{34}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{34}{7}\right)-\frac{4}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{4}{3}에 -\frac{34}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{136}{21}-\frac{4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{4}{3}을(를) \frac{136}{21}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{36}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 4}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}\\-\frac{4}{3\times 3-4\times 4}&\frac{3}{3\times 3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\left(-4\right)+\frac{4}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\left(-4\right)-\frac{3}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+4y=-4,4x+3y=6$$

3x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$4\times 3x+4\times 4y=4\left(-4\right),3\times 4x+3\times 3y=3\times 6$$

단순화합니다.

$$12x+16y=-16,12x+9y=18$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+16y=-16에서 12x+9y=18을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+16y-9y=-16-18$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$16y-9y=-16-18$$

16y을(를) -9y에 추가합니다.

$$7y=-16-18$$

-16을(를) -18에 추가합니다.

$$7y=-34$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{34}{7}$$

4x+3y=6에서 y을(를) -\frac{34}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+3\left(-\frac{34}{7}\right)=6$$

3에 -\frac{34}{7}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{102}{7}=6$$

수식의 양쪽에 \frac{102}{7}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{144}{7}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{36}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{36}{7},y=-\frac{34}{7}$$