다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=8}{2x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=8$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+8을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

다른 수식 2x+3y=9에서 \frac{-2y+8}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+3y=9$$

2에 \frac{-2y+8}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

-\frac{4y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}y+\frac{16}{3}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{16}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{3}y=\frac{11}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}에서 y을(를) \frac{11}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{5}+\frac{8}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 \frac{11}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{22}{15}+\frac{8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) -\frac{22}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{6}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-2\times 2}&\frac{3}{3\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8-\frac{2}{5}\times 9\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{3}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=8,2x+3y=9$$

3x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 8,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

단순화합니다.

$$6x+4y=16,6x+9y=27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+4y=16에서 6x+9y=27을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+4y-9y=16-27$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y-9y=16-27$$

4y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-5y=16-27$$

16을(를) -27에 추가합니다.

$$-5y=-11$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+3y=9에서 y을(를) \frac{11}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+3\times \frac{11}{5}=9$$

3에 \frac{11}{5}을(를) 곱합니다.

$$2x+\frac{33}{5}=9$$

수식의 양쪽에서 \frac{33}{5}을(를) 뺍니다.

$$2x=\frac{12}{5}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{6}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{11}{5}$$