다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=7}{4x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=7$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+7$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+7을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

다른 수식 4x+6y=13에서 \frac{-2y+7}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

4에 \frac{-2y+7}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

-\frac{8y}{3}을(를) 6y에 추가합니다.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{28}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{10}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{11}{10}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}에서 y을(를) \frac{11}{10}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{3}에 \frac{11}{10}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{3}을(를) -\frac{11}{15}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{8}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

3x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

단순화합니다.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+8y=28에서 12x+18y=39을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y-18y=28-39$$

8y을(를) -18y에 추가합니다.

$$-10y=28-39$$

28을(를) -39에 추가합니다.

$$-10y=-11$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{11}{10}$$

4x+6y=13에서 y을(를) \frac{11}{10}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

6에 \frac{11}{10}을(를) 곱합니다.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

수식의 양쪽에서 \frac{33}{5}을(를) 뺍니다.

$$4x=\frac{32}{5}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{8}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$