다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=5}{4x-7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { 4 x - 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=5,4x-7y=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=5$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

다른 수식 4x-7y=-3에서 \frac{-2y+5}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)-7y=-3$$

4에 \frac{-2y+5}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{20}{3}-7y=-3$$

-\frac{8y}{3}을(를) -7y에 추가합니다.

$$-\frac{29}{3}y+\frac{20}{3}=-3$$

수식의 양쪽에서 \frac{20}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{29}{3}y=-\frac{29}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{29}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=1$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) -\frac{2}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=5,4x-7y=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-7\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{4}{29}&-\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 5+\frac{2}{29}\left(-3\right)\\\frac{4}{29}\times 5-\frac{3}{29}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=5,4x-7y=-3$$

3x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 5,3\times 4x+3\left(-7\right)y=3\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$12x+8y=20,12x-21y=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 12x+8y=20에서 12x-21y=-9을(를) 뺍니다.

$$12x-12x+8y+21y=20+9$$

12x을(를) -12x에 추가합니다. 12x 및 -12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y+21y=20+9$$

8y을(를) 21y에 추가합니다.

$$29y=20+9$$

20을(를) 9에 추가합니다.

$$29y=29$$

양쪽을 29(으)로 나눕니다.

$$y=1$$

4x-7y=-3에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-7=-3$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$4x=4$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=1$$