다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=4}{3y+6x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 3 y + 6 x = 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=4$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+4$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+4을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

다른 수식 6x+3y=10에서 \frac{-2y+4}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+3y=10$$

6에 \frac{-2y+4}{3}을(를) 곱합니다.

$$-4y+8+3y=10$$

-4y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-y+8=10$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-y=2$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{4}{3}$$

-\frac{2}{3}에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4+4}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{4}{3}을(를) \frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{8}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 6}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 6}\\-\frac{6}{3\times 3-2\times 6}&\frac{3}{3\times 3-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{2}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{2}{3}\times 10\\2\times 4-10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=4,6x+3y=10$$

3x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\times 3y=3\times 10$$

단순화합니다.

$$18x+12y=24,18x+9y=30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 18x+12y=24에서 18x+9y=30을(를) 뺍니다.

$$18x-18x+12y-9y=24-30$$

18x을(를) -18x에 추가합니다. 18x 및 -18x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-9y=24-30$$

12y을(를) -9y에 추가합니다.

$$3y=24-30$$

24을(를) -30에 추가합니다.

$$3y=-6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=-2$$

6x+3y=10에서 y을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+3\left(-2\right)=10$$

3에 -2을(를) 곱합니다.

$$6x-6=10$$

수식의 양쪽에 6을(를) 더합니다.

$$6x=16$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{8}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8}{3},y=-2$$