다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=32}{-x+3y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { - x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=6$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=32$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y+32$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y+32을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

다른 수식 -x+3y=15에서 \frac{-2y+32}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+3y=15$$

-1에 \frac{-2y+32}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y-\frac{32}{3}+3y=15$$

\frac{2y}{3}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{11}{3}y-\frac{32}{3}=15$$

수식의 양쪽에 \frac{32}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{11}{3}y=\frac{77}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times 7+\frac{32}{3}$$

-\frac{2}{3}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-14+32}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{32}{3}을(를) -\frac{14}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 3-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 32-\frac{2}{11}\times 15\\\frac{1}{11}\times 32+\frac{3}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=6,y=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=32,-x+3y=15$$

3x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3x-2y=-32,3\left(-1\right)x+3\times 3y=3\times 15$$

단순화합니다.

$$-3x-2y=-32,-3x+9y=45$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x-2y=-32에서 -3x+9y=45을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x-2y-9y=-32-45$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y-9y=-32-45$$

-2y을(를) -9y에 추가합니다.

$$-11y=-32-45$$

-32을(를) -45에 추가합니다.

$$-11y=-77$$

양쪽을 -11(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

-x+3y=15에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+3\times 7=15$$

3에 7을(를) 곱합니다.

$$-x+21=15$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$-x=-6$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=6,y=7$$