다음을 풀어보세요: {l}{3x+2y=-8}{-x-2y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = - 8 } \\ { - x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=-7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+2y=-8$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$3x=-2y-8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-8\right)$$

\frac{1}{3}에 -2y-8을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}$$

다른 수식 -x-2y=12에서 \frac{-2y-8}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}\right)-2y=12$$

-1에 \frac{-2y-8}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-2y=12$$

\frac{2y}{3}을(를) -2y에 추가합니다.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=12$$

수식의 양쪽에서 \frac{8}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{4}{3}y=\frac{28}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{4}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-7$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{8}{3}에서 y을(를) -7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-7\right)-\frac{8}{3}$$

-\frac{2}{3}에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{14-8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{8}{3}을(를) \frac{14}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{4}\left(-8\right)-\frac{3}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=-7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+2y=-8,-x-2y=12$$

3x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$-3x-2y=-\left(-8\right),3\left(-1\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

단순화합니다.

$$-3x-2y=8,-3x-6y=36$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -3x-2y=8에서 -3x-6y=36을(를) 뺍니다.

$$-3x+3x-2y+6y=8-36$$

-3x을(를) 3x에 추가합니다. -3x 및 3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2y+6y=8-36$$

-2y을(를) 6y에 추가합니다.

$$4y=8-36$$

8을(를) -36에 추가합니다.

$$4y=-28$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$y=-7$$

-x-2y=12에서 y을(를) -7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x-2\left(-7\right)=12$$

-2에 -7을(를) 곱합니다.

$$-x+14=12$$

수식의 양쪽에서 14을(를) 뺍니다.

$$-x=-2$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=-7$$