다음을 풀어보세요: {l}{3w-2z=5}{w+2z=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z에 대한 해

$$z=5$$

$$w=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 w을(를) 고립시켜 w에 대한 해를 찾습니다.

$$3w-2z=5$$

수식의 양쪽에 2z을(를) 더합니다.

$$3w=2z+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

\frac{1}{3}에 2z+5을(를) 곱합니다.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

다른 수식 w+2z=15에서 \frac{2z+5}{3}을(를) w(으)로 치환합니다.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

\frac{2z}{3}을(를) 2z에 추가합니다.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}에서 z을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 w에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3}에 5을(를) 곱합니다.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) \frac{10}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$w=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$w=5,z=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 w 및 z을(를) 추출합니다.

$$w=5,z=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w 및 w을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

단순화합니다.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3w-2z=5에서 3w+6z=45을(를) 뺍니다.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

3w을(를) -3w에 추가합니다. 3w 및 -3w이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-2z-6z=5-45$$

-2z을(를) -6z에 추가합니다.

$$-8z=5-45$$

5을(를) -45에 추가합니다.

$$-8z=-40$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$z=5$$

w+2z=15에서 z을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 w에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$w+2\times 5=15$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$w+10=15$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$w=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$w=5,z=5$$