다음을 풀어보세요: {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

u, z에 대한 해

$$z=3$$

$$u=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 u을(를) 고립시켜 u에 대한 해를 찾습니다.

$$3u+z=15$$

수식의 양쪽에서 z을(를) 뺍니다.

$$3u=-z+15$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

\frac{1}{3}에 -z+15을(를) 곱합니다.

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

다른 수식 u+2z=10에서 -\frac{z}{3}+5을(를) u(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

-\frac{z}{3}을(를) 2z에 추가합니다.

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{3}z=5$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$z=3$$

u=-\frac{1}{3}z+5에서 z을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

-\frac{1}{3}에 3을(를) 곱합니다.

$$u=-1+5$$

5을(를) -1에 추가합니다.

$$u=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=4,z=3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 u 및 z을(를) 추출합니다.

$$u=4,z=3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3u+z=15,u+2z=10$$

3u 및 u을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

단순화합니다.

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3u+z=15에서 3u+6z=30을(를) 뺍니다.

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

3u을(를) -3u에 추가합니다. 3u 및 -3u이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$z-6z=15-30$$

z을(를) -6z에 추가합니다.

$$-5z=15-30$$

15을(를) -30에 추가합니다.

$$-5z=-15$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$z=3$$

u+2z=10에서 z을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$u+2\times 3=10$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$u+6=10$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$u=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=4,z=3$$