다음을 풀어보세요: {l}{3u+5x=8}{5u+5x=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x에 대한 해

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 u을(를) 고립시켜 u에 대한 해를 찾습니다.

$$3u+5x=8$$

수식의 양쪽에서 5x을(를) 뺍니다.

$$3u=-5x+8$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

\frac{1}{3}에 -5x+8을(를) 곱합니다.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

다른 수식 5u+5x=14에서 \frac{-5x+8}{3}을(를) u(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

5에 \frac{-5x+8}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

-\frac{25x}{3}을(를) 5x에 추가합니다.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

수식의 양쪽에서 \frac{40}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{10}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}에서 x을(를) -\frac{1}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 u에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{3}에 -\frac{1}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{8}{3}을(를) \frac{1}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$u=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 u 및 x을(를) 추출합니다.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3u+5x=8에서 5u+5x=14을(를) 뺍니다.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

5x을(를) -5x에 추가합니다. 5x 및 -5x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3u-5u=8-14$$

3u을(를) -5u에 추가합니다.

$$-2u=8-14$$

8을(를) -14에 추가합니다.

$$-2u=-6$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$u=3$$

5u+5x=14에서 u을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5\times 3+5x=14$$

5에 3을(를) 곱합니다.

$$15+5x=14$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$5x=-1$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$