다음을 풀어보세요: {l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, z에 대한 해

$$z=-3$$

$$c=0$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 c을(를) 고립시켜 c에 대한 해를 찾습니다.

$$3c+5z=-15$$

수식의 양쪽에서 5z을(를) 뺍니다.

$$3c=-5z-15$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

\frac{1}{3}에 -5z-15을(를) 곱합니다.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

다른 수식 5c+3z=-9에서 -\frac{5z}{3}-5을(를) c(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

5에 -\frac{5z}{3}-5을(를) 곱합니다.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

-\frac{25z}{3}을(를) 3z에 추가합니다.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

수식의 양쪽에 25을(를) 더합니다.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

수식의 양쪽을 -\frac{16}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5에서 z을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 c에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-\frac{5}{3}에 -3을(를) 곱합니다.

$$c=5-5$$

-5을(를) 5에 추가합니다.

$$c=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$c=0,z=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 c 및 z을(를) 추출합니다.

$$c=0,z=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c 및 5c을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

단순화합니다.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 15c+25z=-75에서 15c+9z=-27을(를) 뺍니다.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

15c을(를) -15c에 추가합니다. 15c 및 -15c이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$25z-9z=-75+27$$

25z을(를) -9z에 추가합니다.

$$16z=-75+27$$

-75을(를) 27에 추가합니다.

$$16z=-48$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$z=-3$$

5c+3z=-9에서 z을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 c에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

3에 -3을(를) 곱합니다.

$$5c-9=-9$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$5c=0$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$c=0$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$c=0,z=-3$$