다음을 풀어보세요: {l}{3c+2x=5}{2c+4x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 2 x = 5 } \\ { 2 c + 4 x = 6 } \end{array} \right.$$

c, x에 대한 해

$$x=1$$

$$c=1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 c을(를) 고립시켜 c에 대한 해를 찾습니다.

$$3c+2x=5$$

수식의 양쪽에서 2x을(를) 뺍니다.

$$3c=-2x+5$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$c=\frac{1}{3}\left(-2x+5\right)$$

\frac{1}{3}에 -2x+5을(를) 곱합니다.

$$c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$$

다른 수식 2c+4x=6에서 \frac{-2x+5}{3}을(를) c(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\right)+4x=6$$

2에 \frac{-2x+5}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}+4x=6$$

-\frac{4x}{3}을(를) 4x에 추가합니다.

$$\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}=6$$

수식의 양쪽에서 \frac{10}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{8}{3}x=\frac{8}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{8}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=1$$

c=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}에서 x을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 c에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$c=\frac{-2+5}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{3}을(를) -\frac{2}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$c=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$c=1,x=1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-2\times 2}&\frac{3}{3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\times 6\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}c\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 c 및 x을(를) 추출합니다.

$$c=1,x=1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3c+2x=5,2c+4x=6$$

3c 및 2c을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3c+2\times 2x=2\times 5,3\times 2c+3\times 4x=3\times 6$$

단순화합니다.

$$6c+4x=10,6c+12x=18$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6c+4x=10에서 6c+12x=18을(를) 뺍니다.

$$6c-6c+4x-12x=10-18$$

6c을(를) -6c에 추가합니다. 6c 및 -6c이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4x-12x=10-18$$

4x을(를) -12x에 추가합니다.

$$-8x=10-18$$

10을(를) -18에 추가합니다.

$$-8x=-8$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

2c+4x=6에서 x을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 c에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2c+4=6$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$2c=2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$c=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$c=1,x=1$$