다음을 풀어보세요: {l}{3a+b=-3}{2a-b=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$3a+b=-3$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$3a=-b-3$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

\frac{1}{3}에 -b-3을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

다른 수식 2a-b=-1에서 -\frac{b}{3}-1을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

2에 -\frac{b}{3}-1을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

-\frac{2b}{3}을(를) -b에 추가합니다.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

수식의 양쪽을 -\frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=-\frac{3}{5}$$

a=-\frac{1}{3}b-1에서 b을(를) -\frac{3}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 -\frac{3}{5}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

-1을(를) \frac{1}{5}에 추가합니다.

$$a=-\frac{4}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

3a 및 2a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

단순화합니다.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6a+2b=-6에서 6a-3b=-3을(를) 뺍니다.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

6a을(를) -6a에 추가합니다. 6a 및 -6a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2b+3b=-6+3$$

2b을(를) 3b에 추가합니다.

$$5b=-6+3$$

-6을(를) 3에 추가합니다.

$$5b=-3$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$b=-\frac{3}{5}$$

2a-b=-1에서 b을(를) -\frac{3}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{5}을(를) 뺍니다.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{4}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$