다음을 풀어보세요: {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, c에 대한 해

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 A을(를) 고립시켜 A에 대한 해를 찾습니다.

$$3A-13c=-255$$

수식의 양쪽에 13c을(를) 더합니다.

$$3A=13c-255$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

\frac{1}{3}에 13c-255을(를) 곱합니다.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

다른 수식 31A-6c=-180에서 \frac{13c}{3}-85을(를) A(으)로 치환합니다.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

31에 \frac{13c}{3}-85을(를) 곱합니다.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

\frac{403c}{3}을(를) -6c에 추가합니다.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

수식의 양쪽에 2635을(를) 더합니다.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

수식의 양쪽을 \frac{385}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85에서 c을(를) \frac{1473}{77}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 A에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{13}{3}에 \frac{1473}{77}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

-85을(를) \frac{6383}{77}에 추가합니다.

$$A=-\frac{162}{77}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 A 및 c을(를) 추출합니다.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A 및 31A을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 31을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

단순화합니다.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 93A-403c=-7905에서 93A-18c=-540을(를) 뺍니다.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

93A을(를) -93A에 추가합니다. 93A 및 -93A이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-403c+18c=-7905+540$$

-403c을(를) 18c에 추가합니다.

$$-385c=-7905+540$$

-7905을(를) 540에 추가합니다.

$$-385c=-7365$$

양쪽을 -385(으)로 나눕니다.

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180에서 c을(를) \frac{1473}{77}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 A에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

-6에 \frac{1473}{77}을(를) 곱합니다.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

수식의 양쪽에 \frac{8838}{77}을(를) 더합니다.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

양쪽을 31(으)로 나눕니다.

$$A=-\frac{162}{77}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$