x, y에 대한 해
x=\frac{1}{4}=0.25
y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333
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\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8}
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
\frac{3}{2}x=-6y+\frac{19}{8}
수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.
x=\frac{2}{3}\left(-6y+\frac{19}{8}\right)
수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=-4y+\frac{19}{12}
\frac{2}{3}에 -6y+\frac{19}{8}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{19}{12}\right)-9y=-\frac{23}{8}
다른 수식 \frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}에서 -4y+\frac{19}{12}을(를) x(으)로 치환합니다.
-2y+\frac{19}{24}-9y=-\frac{23}{8}
\frac{1}{2}에 -4y+\frac{19}{12}을(를) 곱합니다.
-11y+\frac{19}{24}=-\frac{23}{8}
-2y을(를) -9y에 추가합니다.
-11y=-\frac{11}{3}
수식의 양쪽에서 \frac{19}{24}을(를) 뺍니다.
y=\frac{1}{3}
양쪽을 -11(으)로 나눕니다.
x=-4\times \frac{1}{3}+\frac{19}{12}
x=-4y+\frac{19}{12}에서 y을(를) \frac{1}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-\frac{4}{3}+\frac{19}{12}
-4에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.
x=\frac{1}{4}
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{19}{12}을(를) -\frac{4}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}
시스템이 이제 해결되었습니다.
\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&6\\\frac{1}{2}&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&-\frac{6}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-9\right)-6\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{1}{33}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{19}{8}\\-\frac{23}{8}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\times \frac{19}{8}+\frac{4}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\\\frac{1}{33}\times \frac{19}{8}-\frac{1}{11}\left(-\frac{23}{8}\right)\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
\frac{3}{2}x+6y=\frac{19}{8},\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\times 6y=\frac{1}{2}\times \frac{19}{8},\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\left(-9\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{23}{8}\right)
\frac{3x}{2} 및 \frac{x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{2}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{3}{2}을(를) 곱합니다.
\frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16},\frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}
단순화합니다.
\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{3}{4}x+3y=\frac{19}{16}에서 \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}y=-\frac{69}{16}을(를) 뺍니다.
3y+\frac{27}{2}y=\frac{19+69}{16}
\frac{3x}{4}을(를) -\frac{3x}{4}에 추가합니다. \frac{3x}{4} 및 -\frac{3x}{4}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
\frac{33}{2}y=\frac{19+69}{16}
3y을(를) \frac{27y}{2}에 추가합니다.
\frac{33}{2}y=\frac{11}{2}
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{19}{16}을(를) \frac{69}{16}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
y=\frac{1}{3}
수식의 양쪽을 \frac{33}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
\frac{1}{2}x-9\times \frac{1}{3}=-\frac{23}{8}
\frac{1}{2}x-9y=-\frac{23}{8}에서 y을(를) \frac{1}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
\frac{1}{2}x-3=-\frac{23}{8}
-9에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}
수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.
x=\frac{1}{4}
양쪽에 2을(를) 곱합니다.
x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}